根据您提供的概率密度函数 ( f(x) )，这里是一个分段函数，定义如下：

[ f(x) = \begin{cases}
Ax & \text{for } 0 \leq x \leq 1 \
0 & \text{otherwise}
\end{cases} ]

我们需要求解以下问题：

(1) 求 ( A )

由于 ( f(x) ) 是概率密度函数，其在定义域上的积分必须等于 1：
[ \int_{0}^{1} Ax , dx = 1 ]
[ A \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 1 ]
[ A \cdot \frac{1}{2} = 1 ]
[ A = 2 ]

(2) 分布函数 ( F(x) )

分布函数 ( F(x) ) 是概率密度函数 ( f(x) ) 的积分：
[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) , dt ]
对于 ( 0 \leq x \leq 1 )：
[ F(x) = \int_{0}^{x} 2t , dt = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = x^2 ]
对于 ( x < 0 ) 或 ( x > 1 )，( F(x) ) 分别为 0 和 1。

(3) ( P(0 < X < 1) )

[ P(0 < X < 1) = \int_{0}^{1} 2x , dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 1 ]

(4) 数学期望 ( E(X) )

[ E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2x , dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 , dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} ]

(5) 方差 ( D(X) )

首先计算 ( E(X^2) )：
[ E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 2x , dx = 2 \int_{0}^{1} x^3 , dx = 2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} ]
然后计算方差：
[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18} ]

这些解答提供了每个问题的详细步骤和结果。如果您需要进一步的解释或有其他问题，请随时提问。